一个最值问题的“七十二变”

责任编辑:厉中管理 时间:2016-11-10 00:00 点击:

文章简介:一个最值问题的“七十二变” 根据基本不等式 ≥ ( a 、 b ≥ 0) 的结构特征,当两个正数的和 a + b 为定值时,乘积 ab 有最大值;当两个正数的乘积 ab 为定值时,和 a + b 有最小值.因

一个最值问题的“七十二变”

根据基本不等式(ab0)的结构特征,当两个正数的和ab为定值时,乘积ab有最大值;当两个正数的乘积ab为定值时,和ab有最小值.因此,求两个数乘积最大值或者和最小值时,利用基本不等式是其中的一个解题方向.如求()(x2y)(xy为正数)的最小值,可以有这样三种思路:①先分别求这两个和x2y的最小值;②把()(x2y)看作两个数x2y的乘积;③把()(x2y)去括号展开.采用①必须知道乘积为定值;采用②必须知道和为定值;所以只能采用思路③.利用这个思路,可以处理以下几个问题.

例:已知正数xy满足1,求x2y的最小值.

解法1:最容易想到的解法,就是把两个未知数转化为一个未知数处理.

11,则y10x8

x2y82y102(y1)10218

当且仅当2(y1),即y3时,“=”成立,此时x12

这个解法思路比较自然,即“消元”的方法,把二元问题转化为一元问题,而一元问题的最值还可以根据函数的单调性处理.但是这个解法对于这类问题后续的许多题型不太适合.

解法2:学生会想到的一个错误解法.

12,即4

x2y22·2×416

这个解法初看没什么问题,错误的原因是忽视了基本不等式成立的条件.基本不等式要对于正数才成立,并且只有这两个数相等的时候才能取“=”.也就是正数ab时,

对于2,“=”成立时x8y

对于x2y2,“=”成立时x2y

本题两次运用基本不等式,“=”不能同时成立,所以这个方法只能得到x2y16,但是最小值不是16x2y的最小值要比16大.

解法3:用的比较多的方法,并且这个方法适合拓展,但是方法不自然、不容易想到.可以结合本文开头所说的“求()(x2y)(xy为正数)的最小值”的方法进行理解.

x2y(x2y)·1(x2y)·()8210218

“=”成立时x4y

下面这个问题的解法和上述解法一样,都是两式相乘以后再利用基本不等式.

已知正数xy满足x2y1,求的最小值.

这个问题有许多相同的题型,都可以利用上述解法3,而且只有这个方法比较简单,能够减少繁琐的运算.

变式1:已知正数xy满足x2y3,求的最小值.

分析:()·1()·

变式2:已知正数xy满足x8yxy,求x2y的最小值.

分析:x8yxy即是1

变式3:已知正数xyz满足x2yz1,求的最小值.

分析:把2yz看作一个未知数t,原题可以重新表述为:已知正数xt满足xt1,求的最小值.

变式4:在△ABC中,求的最小值.

分析:把BC看作一个未知数t,别忽视隐含条件ABCπ.原题可以重新表述为:已知正数Atπ,求的最小值.

变式5:函数ya1x(a0a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mxny10(mn0)上,求的最小值.

分析:本题是综合问题,要根据指数函数yax(a0a1)的图象过定点(01),得到点A的坐标为(11),其次点A在直线mxny10(mn0)上,即mn1

变式6:已知!语法错误,)若目标函数zaxby(a0b0)最大值为12,求的最小值.

分析:由线性规划的知识,当目标函数zaxby(a0b0)过直线3xy60与直线xy20的交点(46)时有最大值.即已知4a6b122a3b6(a0b0),求最小值.

变式7:已知各项为正数的等比数列{an}中,存在两项aman,使得=4a1,且a7a62a5,求的最小值.

分析:由a7a62a5得公比q2q=-1(舍去)4a1可化为mn6.即已知mn6(m0n0),求的最小值.

变式8:设a0b04abab,在以(ab)为圆心,ab为半径的圆中,求面积最小的圆的方程.

分析:已知条件4abab,即1.面积最小的圆,即求半径ab的最小值.

变式9:在等式1的两个括号中各填入一个正数,并使它们的和最小.

分析:设括号中两个正数为xy.原题可以重新表述为:已知正数xy满足1,求xy的最小值.

变式10:若xy为正数,证明

分析:直接证明比较复杂,可以转化为证明()(xy)(ab)2

  总之,这类问题的一个特点是求最小值:已知两个数倒数和为定值,求两个数和的最小值;或者已知两个数和为定值,求两个数倒数和的最小值.解决的方法都是分式与整数相乘,展开后运用基本不等式.这个方法虽然思路不自然,不是通法(通法是化二元或者三元为一元),但是应用比较广泛,适合拓展.


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